Pe 20 martie, matematicianul american-canadian Robert Langlands a primit premiul Abel, sărbătorind realizările pe tot parcursul vieții la matematică. Cercetările lui Langlands au demonstrat cum conceptele din geometrie, algebră și analiză ar putea fi reunite printr-o legătură comună cu numere prime.
Când regele Norvegiei va prezenta premiul lui Langland în luna mai, el va onora cel mai recent într-un efort de 2.300 de ani de a înțelege numere prime, probabil cel mai mare și mai vechi set de date din matematică. În calitate de matematician dedicat acestui „program Langlands”, sunt fascinat de istoria numerelor primare și de modul în care progresele recente le elimină secretele. De ce au captivat matematicieni timp de milenii?
Pentru a studia primele, matematicienii strâng numere întregi printr-o plasă virtuală după alta până când rămân doar primele. Acest proces de cernere a produs tablouri cu milioane de primele în anii 1800. Acesta permite calculatoarelor de astăzi să găsească miliarde de prime în mai puțin de o secundă. Dar ideea de bază a sitei nu s-a schimbat în peste 2.000 de ani.
"Un număr prim este acela care este măsurat numai de către unitate", a scris matematicianul Euclid în 300 î. Chiar înseamnă că numerele prime nu pot fi împărțite uniform cu un număr mai mic decât 1. Prin convenție, matematicienii nu se consideră 1 ca fiind un număr prim. Euclid a dovedit infinitudinea primelor - continuă pentru totdeauna - dar istoria sugerează că a fost Eratostene care ne-a dat sita pentru a enumera rapid primele.
Iată ideea de sită. Mai întâi, filtrează multipli de 2, apoi 3, apoi 5, apoi 7 - primele patru prime. Dacă faceți acest lucru cu toate numerele de la 2 la 100, vor rămâne doar numere prime.
Multe multipli de 2, 3, 5 și 7 lasă doar primele între 1 și 100. (amabilitatea MH Weissman) Cu opt trepte de filtrare, se pot izola primele până la 400. Cu 168 de trepte de filtrare, se pot izola primele până la 1 milion. Aceasta este puterea sita de Eratostene.
**********
O primă cifră în primele tabulare este John Pell, un matematician englez care s-a dedicat creării tabelelor cu numere utile. El a fost motivat să rezolve probleme aritmetice antice ale lui Diophantos, dar și printr-o căutare personală de organizare a adevărurilor matematice. Datorită eforturilor depuse, primele de până la 100.000 au fost vehiculate pe scară largă la începutul anilor 1700. Până în 1800, proiectele independente au intabulat primele până la 1 milion.
Pentru a automatiza etapele obișnuite de cernere, un matematician german numit Carl Friedrich Hindenburg a folosit glisoare reglabile pentru a imprima multipli pe întreaga pagină a unui tabel simultan. O altă abordare de înaltă tehnologie, dar eficientă, a folosit stencilele pentru localizarea multiplelor. Până la mijlocul anilor 1800, matematicianul Jakob Kulik se angajase într-un proiect ambițios pentru a găsi toate primele de până la 100 de milioane.
O stencil folosită de Kulik pentru setarea multiplilor de 37. AÖAW, Nachlass Kulik, (Imagine cu amabilitatea lui Denis Roegel, Autorul oferit) Aceste „date mari” din anii 1800 ar fi putut servi doar ca tabel de referință, dacă Carl Friedrich Gauss nu ar fi decis să analizeze primele în interesul lor. Înarmat cu o listă de prime până la 3 milioane, Gauss a început să le numere, o „chiliad”, sau un grup de 1.000 de unități, la un moment dat. El a numărat primele până la 1.000, apoi primele între 1.000 și 2.000, apoi între 2.000 și 3.000 și așa mai departe.
Gauss a descoperit că, pe măsură ce număra mai sus, primele devin treptat mai puțin frecvente conform unei legi „log-inverse”. Legea lui Gauss nu arată exact câte prime există, dar oferă o estimare destul de bună. De exemplu, legea sa prevede 72 de prime între 1.000.000 și 1.001.000. Numărul corect este de 75 prime, aproximativ o eroare de 4 la sută.
La un secol după primele explorări ale lui Gauss, legea sa a fost dovedită în „teorema numerelor primare”. Eroarea procentuală se apropie de zero la intervale mai mari și mai mari de prime. Ipoteza Riemann, o problemă de premiu de un milion de dolari astăzi, descrie de asemenea cât de exactă este estimarea lui Gauss.
Teorema numărului primar și ipoteza lui Riemann obțin atenția și banii, dar ambele au urmat analize de date mai puțin strălucitoare.
.....
Astăzi, seturile noastre de date provin mai degrabă de la programe de calculator, mai degrabă decât de stencilele tăiate manual, dar matematicienii încă găsesc noi modele în primele.
Cu excepția 2 și 5, toate numerele prime se termină în cifra 1, 3, 7 sau 9. În anii 1800, s-a dovedit că aceste ultime cifre posibile sunt la fel de frecvente. Cu alte cuvinte, dacă priviți primele până la un milion, aproximativ 25 la sută se termină în 1, 25 la sută se termină în 3, 25 la sută se termină în 7, iar 25 la sută se termină în 9.
În urmă cu câțiva ani, teoreticienii numerelor Stanford, Lemke Oliver și Kannan Soundararajan, au fost prinși de gardă în cifrele finale ale primelor. Un experiment a privit ultima cifră a primei, precum și ultima cifră a primei prime. De exemplu, următorul prim după 23 este 29: Unul vede un 3 și apoi un 9 în ultimele lor cifre. Se vede 3 apoi 9 mai des decât 3 apoi 7, printre ultimele cifre ale primelor?
Frecvența perechilor de ultimele cifre, printre numere prime succesive de până la 100 de milioane. Culorile potrivite corespund golurilor de potrivire. (MH Weissman, CC BY) Teoreticienii numărului se așteptau la o oarecare variație, dar ceea ce au găsit a depășit cu mult așteptările. Primele sunt separate prin diferite lacune; de exemplu, 23 are șase numere distanță de 29. Dar primele 3-apoi-9 precum 23 și 29 sunt mult mai frecvente decât primele 7-apoi-3, chiar dacă ambele provin dintr-un decalaj de șase.
Matematicienii au găsit curând o explicație plauzibilă. Dar, când vine vorba de studiul primelor succesive, matematicienii sunt (mai ales) limitați la analiza și persuasiunea datelor. Dovada - standardul de aur al matematicienilor pentru a explica de ce lucrurile sunt adevărate - par la câteva decenii.
Acest articol a fost publicat inițial pe The Conversation.
Martin H. Weissman, profesor asociat de matematică, Universitatea din California, Santa Cruz
