Cel mai probabil ați întâlnit obiecte unilaterale de sute de ori în viața dvs. de zi cu zi - cum ar fi simbolul universal pentru reciclare, găsit imprimat pe spatele cutiilor de aluminiu și a sticlelor de plastic.
Acest obiect matematic se numește o bandă Mobius. A fascinat ecologiștii, artiștii, inginerii, matematicienii și mulți alții încă de la descoperirea sa, în 1858, de August Möbius, un matematician german care a murit în urmă cu 150 de ani, pe 26 septembrie 1868.
Möbius a descoperit banda unilaterală în 1858 în timp ce servea ca catedră de astronomie și mecanică superioară la Universitatea din Leipzig. (Un alt matematician numit Listing a descris-o de fapt cu câteva luni mai devreme, dar nu și-a publicat lucrarea până în 1861.) Möbius pare să fi întâlnit banda Möbius în timp ce lucra la teoria geometrică a poliedrelor, figuri solide compuse din vârfuri, margini și fețe plane. .
O fâșie Möbius poate fi creată luând o fâșie de hârtie, oferindu-i un număr ciudat de jumătăți de răsucire, apoi tapetând capetele înapoi împreună pentru a forma o buclă. Dacă luați un creion și trasați o linie de-a lungul centrului benzii, veți vedea că linia aparent circulă de-a lungul ambelor părți ale buclei.
Conceptul unui obiect pe o parte a inspirat artiști precum graficianul olandez MC Escher, a cărui xilografie „Möbius Strip II” arată furnicile roșii care se târăsc una după alta de-a lungul unei benzi Möbius.
Fâșia Möbius are mai mult decât o singură proprietate surprinzătoare. De exemplu, încercați să luați o pereche de foarfece și să tăiați fâșia pe jumătate de-a lungul liniei pe care tocmai ați trasat-o. S-ar putea să fiți uimiți să aflați că nu ați rămas cu două benzi Möbius cu o singură față mai mici, ci în schimb cu o buclă lungă cu două fețe. Dacă nu aveți o hârtie la îndemână, lemnul lui Escher „Möbius Fâșia I” arată ce se întâmplă atunci când o fâșie Möbius este tăiată de-a lungul liniei sale centrale.
În timp ce banda cu siguranță are un apel vizual, cel mai mare impact a avut-o în matematică, unde a contribuit la stimularea dezvoltării unui întreg câmp numit topologie.
Un topolog studiază proprietățile obiectelor care sunt păstrate atunci când sunt mutate, îndoite, întinse sau răsucite, fără a tăia sau lipi părțile între ele. De exemplu, o pereche de căști încurcate este, într-un sens topologic, aceeași cu o pereche de urechi ureche, pentru că schimbarea unuia în celălalt necesită doar mișcare, îndoire și răsucire. Nu este necesară tăierea sau lipirea pentru a se transforma între ele.
O altă pereche de obiecte topologice identice sunt o ceașcă de cafea și o gogoașă. Deoarece ambele obiecte au doar o gaură, unul poate fi deformat în celălalt prin simpla întindere și îndoire.
O cană se transformă într-o gogoasă. (Wikimedia Commons) Numărul de găuri dintr-un obiect este o proprietate care poate fi modificată numai prin tăiere sau lipire. Această proprietate - numită „genul” unui obiect - ne permite să spunem că o pereche de căști și o gogoașă sunt diferite din punct de vedere topologic, întrucât o gogoașă are o gaură, în timp ce o pereche de cască nu are găuri.
Din păcate, o bandă Möbius și o buclă pe două fețe, precum o bandă de mână tipărească de conștientizare a siliconului, ambele par să aibă o singură gaură, deci această proprietate este insuficientă pentru a le deosebi - cel puțin din punctul de vedere al unui topolog.
În schimb, proprietatea care distinge o bandă Möbius de o buclă cu două fețe se numește orientabilitate. Ca și numărul de găuri, orientabilitatea unui obiect poate fi modificată numai prin tăiere sau lipire.
Imaginați-vă că vă scrieți o notă pe o suprafață văzută, apoi faceți o plimbare pe acea suprafață. Suprafața este orientabilă dacă, la întoarcerea din plimbare, puteți citi întotdeauna nota. Pe o suprafață neorientabilă, este posibil să vă întoarceți din plimbarea dvs. doar pentru a afla că cuvintele pe care le-ați scris s-au transformat aparent în imaginea lor în oglindă și pot fi citite doar de la dreapta la stânga. Pe bucla cu două fețe, nota va citi mereu de la stânga la dreapta, indiferent de locul în care v-a dus călătoria.
Deoarece banda Möbius este neorientabilă, în timp ce bucla cu două fețe este orientabilă, asta înseamnă că banda Möbius și bucla cu două fețe sunt diferite topologic.
(Creat de David Gunderman) Când începe GIF-ul, punctele listate în sens orar sunt negru, albastru și roșu. Cu toate acestea, putem muta configurația în trei puncte în jurul benzii Möbius astfel încât figura să fie în aceeași locație, dar culorile punctelor listate în sensul acelor de ceasornic sunt acum roșu, albastru și negru. Cumva, configurația s-a transformat în propria imagine în oglindă, dar tot ce am făcut este să o mutăm la suprafață. Această transformare este imposibilă pe o suprafață orientabilă precum bucla cu două fețe.
Conceptul de orientabilitate are implicații importante. Luați enantiomeri. Acești compuși chimici au aceleași structuri chimice, cu excepția unei diferențe cheie: sunt imagini în oglindă unele cu altele. De exemplu, L-metamfetamina chimică este un ingredient în inhalatoarele de vapori Vicks. Imaginea sa în oglindă, D-metamfetamina, este un drog clasa A ilegal. Dacă am trăi într-o lume neorientabilă, aceste substanțe chimice ar fi nedistinguibile.
Descoperirea lui August Möbius a deschis noi moduri de a studia lumea naturală. Studiul topologiei continuă să producă rezultate uimitoare. De exemplu, anul trecut, topologia i-a determinat pe oamenii de știință să descopere stări noi ciudate ale materiei. Medalia Fields din acest an, cea mai mare onoare în matematică, a fost acordată lui Akshay Venkatesh, un matematician care a ajutat la integrarea topologiei cu alte domenii precum teoria numerelor.
Acest articol a fost publicat inițial pe The Conversation.
David Gunderman, doctor. student la Matematică Aplicată, Universitatea din Colorado și Richard Gunderman, profesor de cancelar în medicină, arte liberale și filantropie, Universitatea Indiana
